איך גוזרים פונקציה: המדריך השלם למציאת נגזרות

נגזרות הן אחד הכלים המתמטיים החשובים ביותר בחשבון אינפיניטסימלי, ומהוות בסיס לתחומים רבים במדעים ובהנדסה. כאשר מדברים על “איך גוזרים פונקציה”, אנחנו למעשה שואלים כיצד למצוא את שיעור השינוי של הפונקציה בנקודה מסוימת. הבנת תהליך הגזירה מאפשרת לנו לחקור התנהגות של פונקציות, למצוא נקודות קיצון, לפתור בעיות אופטימיזציה ועוד. במאמר זה נלמד את העקרונות הבסיסיים של גזירת פונקציות, נכיר את הכללים השונים, ונדגים כיצד ליישם אותם בפתרון תרגילים שונים. בין אם אתם לומדים את הנושא לראשונה או מחפשים לרענן את הידע שלכם, המדריך המקיף הזה יספק לכם את הכלים הנחוצים להבנת תהליך גזירת פונקציות.

יסודות הנגזרת – מה זה בכלל אומר לגזור פונקציה?

הנגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת מייצגת את השיפוע של הפונקציה באותה נקודה. במילים אחרות, היא מודדת את קצב השינוי של הפונקציה. כשאנו אומרים “לגזור פונקציה” הכוונה היא למציאת פונקציה חדשה – הנגזרת – שערכה בכל נקודה שווה לשיפוע של הפונקציה המקורית באותה נקודה.

באופן פורמלי, הנגזרת של פונקציה f(x) בנקודה x מוגדרת כגבול של הביטוי:

f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) – f(x))/h

הנגזרת עצמה היא גם פונקציה, ולכן אנו יכולים לחשב אותה עבור כל נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה המקורית. משמעות הדבר היא שכאשר אנחנו גוזרים פונקציה, אנחנו בעצם מייצרים “מפת שיפועים” של הפונקציה המקורית.

יש לזכור כי לא כל פונקציה ניתנת לגזירה בכל נקודה. פונקציה נקראת גזירה בנקודה מסוימת אם הגבול הנ”ל קיים באותה נקודה. אם הפונקציה גזירה בכל נקודה בתחום שלה, היא נקראת “פונקציה גזירה”.

כללי גזירה בסיסיים – הטכניקות למציאת נגזרת

כדי להקל על תהליך חישוב הנגזרות, פותחו מספר כללים בסיסיים שמאפשרים לנו לגזור פונקציות מבלי לחזור לחישוב הגבול בכל פעם. הנה הכללים העיקריים:

נגזרת של פונקציה קבועה

אם f(x) = c, כאשר c הוא קבוע כלשהו, אז הנגזרת שלה היא אפס:

f'(x) = 0

זה הגיוני מאוד: פונקציה קבועה מיוצגת על ידי קו אופקי, ולכן השיפוע שלה בכל נקודה הוא אפס.

נגזרת של פונקציית זהות

אם f(x) = x, אז הנגזרת שלה שווה ל-1:

f'(x) = 1

זהו כלל בסיסי שנובע ישירות מהגדרת הנגזרת. פונקציית הזהות מיוצגת על ידי קו ישר בעל שיפוע 1.

נגזרת של חזקה

אם f(x) = x^n, כאשר n הוא מספר ממשי כלשהו, אז הנגזרת שלה היא:

f'(x) = n·x^(n-1)

כלל זה ידוע כ”כלל החזקה” או “כלל המעריך”, והוא אחד הכללים השימושיים ביותר בחישוב נגזרות. לפי כלל זה, כאשר גוזרים איבר עם חזקה, מכפילים את המקדם במעריך ומקטינים את המעריך באחד.

דוגמאות לנגזרת של חזקה

• אם f(x) = x^2, אז f'(x) = 2x
• אם f(x) = x^3, אז f'(x) = 3x^2
• אם f(x) = x^(-1) = 1/x, אז f'(x) = -1·x^(-2) = -1/x^2
• אם f(x) = √x = x^(1/2), אז f'(x) = (1/2)·x^(-1/2) = 1/(2√x)

כללי גזירה של סכום, מכפלה ומנה

כאשר עוסקים בפונקציות מורכבות יותר, נוכל להשתמש בכללים הבאים:

כלל הסכום: אם f(x) = g(x) + h(x), אז f'(x) = g'(x) + h'(x)

כלל ההפרש: אם f(x) = g(x) – h(x), אז f'(x) = g'(x) – h'(x)

כלל המכפלה בקבוע: אם f(x) = c·g(x), כאשר c הוא קבוע, אז f'(x) = c·g'(x)

כלל המכפלה: אם f(x) = g(x)·h(x), אז f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)

כלל המנה: אם f(x) = g(x)/h(x), אז f'(x) = (g'(x)·h(x) – g(x)·h'(x))/[h(x)]^2

כללים אלה מאפשרים לנו לגזור כמעט כל פונקציה אלגברית בסיסית על ידי פירוקה לרכיבים פשוטים יותר.

שיטות מעשיות לגזירת פונקציות פולינומיאליות

פונקציות פולינומיאליות (רב-איבריות) הן מהקלות ביותר לגזירה. הן מורכבות מסכום של איברים מהצורה ax^n, כאשר a הוא מקדם קבוע ו-n הוא מעריך שלם אי-שלילי.

צעדים לגזירת פולינום

1. פרק את הפולינום לאיברים בודדים.
2. גזור כל איבר בנפרד באמצעות כלל החזקה.
3. חבר את התוצאות יחד.

דוגמה לגזירת פולינום

נגזור את הפולינום f(x) = 3x^4 + 2x^3 – 5x + 8

צעד 1: נפרק לאיברים: 3x^4, 2x^3, -5x, 8

צעד 2: נגזור כל איבר:

• נגזרת של 3x^4 היא 3·4·x^3 = 12x^3
• נגזרת של 2x^3 היא 2·3·x^2 = 6x^2
• נגזרת של -5x היא -5·1·x^0 = -5
• נגזרת של 8 (קבוע) היא 0

צעד 3: נחבר את התוצאות:

f'(x) = 12x^3 + 6x^2 – 5

שימו לב שאיברים קבועים “נעלמים” בתהליך הגזירה, כי הנגזרת שלהם היא אפס. כמו כן, חזקת x^1 הופכת למכפלה ב-1, מה שמותיר אותנו עם המקדם המקורי.

הדוגמה הזו ממחישה את כלל החזקה ואת כלל הסכום. כשמורידים חזקה, המעריך “יורד” להיות מקדם, והחזקה עצמה קטנה באחד. כך, x^n הופך ל-nx^(n-1).

טכניקת שרשרת החיבור – איך לגזור סכום של פונקציות

כפי שראינו, אחד הכללים הבסיסיים בגזירה הוא כלל הסכום: הנגזרת של סכום פונקציות שווה לסכום הנגזרות של הפונקציות המרכיבות. כלל זה מאפשר לנו לפרק פונקציות מורכבות ולגזור כל חלק בנפרד.

דוגמאות לשימוש בכלל הסכום

נתבונן בפונקציה: f(x) = x^3 + 4x + 8

כדי לגזור את הפונקציה, נפרק אותה לשלושה חלקים ונגזור כל אחד מהם:

• נגזרת של x^3 היא 3x^2
• נגזרת של 4x היא 4
• נגזרת של 8 (קבוע) היא 0

לכן, f'(x) = 3x^2 + 4

שימו לב ש-8 “נעלם” מהנגזרת כי הנגזרת של קבוע היא אפס. כמו כן, 4x הפך ל-4 כי כשמורידים את החזקה 1 של x, מקבלים x^0 שערכו 1, ולכן נשאר רק המקדם 4.

כלל הסכום עובד גם עבור הפרשים, כך שאם יש לנו פונקציה כמו g(x) = x^2 – 5x + 1, נוכל לגזור אותה באופן דומה:

g'(x) = 2x – 5

יעילות השיטה

היתרון הגדול של כלל הסכום הוא שהוא מאפשר לנו לפרק פונקציות מורכבות לחלקים מובנים וקלים לגזירה. גישה זו יעילה במיוחד עבור פולינומים, אך מועילה גם בפונקציות מורכבות יותר כאשר משלבים אותה עם כללי גזירה אחרים.

נגזרת של פונקציה מורכבת – כלל השרשרת

כלל השרשרת הוא אחד הכלים החשובים ביותר בחשבון דיפרנציאלי. הוא מאפשר לנו לגזור פונקציות מורכבות שמתקבלות על ידי הרכבה של פונקציות פשוטות יותר.

אם יש לנו פונקציה מורכבת f(g(x)), כלל השרשרת אומר שהנגזרת שלה היא:

f(g(x))’ = f'(g(x)) · g'(x)

במילים אחרות, כדי לגזור פונקציה מורכבת, מכפילים את הנגזרת של הפונקציה החיצונית (מחושבת בנקודה g(x)) בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

דוגמאות לשימוש בכלל השרשרת

נתבונן בפונקציה h(x) = (3x^2 + 1)^4

זוהי פונקציה מורכבת, כאשר הפונקציה החיצונית היא f(u) = u^4, והפונקציה הפנימית היא g(x) = 3x^2 + 1 (כך ש-u = g(x)).

לפי כלל השרשרת:

1. נחשב את הנגזרת של הפונקציה החיצונית: f'(u) = 4u^3
2. נחשב את הנגזרת של הפונקציה הפנימית: g'(x) = 6x
3. נכפיל את התוצאות, כאשר מציבים את g(x) במקום u בפונקציה החיצונית:
   
   h'(x) = 4(3x^2 + 1)^3 · 6x = 24x(3x^2 + 1)^3

כלל השרשרת שימושי במיוחד עבור פונקציות מורכבות כמו פולינומים בתוך פולינומים, פונקציות טריגונומטריות של ביטויים אלגבריים, ופונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.

נגזרות של פונקציות רציונליות – שיטת המנה

פונקציות רציונליות הן פונקציות שניתן לבטא אותן כמנה של שני פולינומים. כדי לגזור פונקציה רציונלית, אנו משתמשים בכלל המנה.

אם f(x) = g(x)/h(x), אז הנגזרת שלה היא:

f'(x) = (g'(x)·h(x) – g(x)·h'(x))/[h(x)]^2

זהו כלל מורכב יחסית לזכירה, אך ניתן להקל עליו באמצעות “חוק המכנה בריבוע”. כשמחפשים את הנגזרת של שבר:

1. הנגזרת של המונה כפול המכנה
2. פחות המונה כפול הנגזרת של המכנה
3. הכל מחולק בריבוע המכנה

דוגמה לנגזרת של פונקציה רציונלית

נגזור את הפונקציה f(x) = (2x + 3)/(x^2 – 1)

נסמן: g(x) = 2x + 3 ו-h(x) = x^2 – 1

נחשב את הנגזרות:

• g'(x) = 2
• h'(x) = 2x

נציב בנוסחת כלל המנה:

f'(x) = (2·(x^2 – 1) – (2x + 3)·2x)/[(x^2 – 1)]^2

f'(x) = (2x^2 – 2 – 4x^2 – 6x)/[(x^2 – 1)]^2

f'(x) = (-2x^2 – 6x – 2)/[(x^2 – 1)]^2

f'(x) = -2(x^2 + 3x + 1)/[(x^2 – 1)]^2

כפי שניתן לראות, גזירת פונקציות רציונליות מורכבות יכולה להיות מאתגרת, אך היא הופכת למנגנון שיטתי עם תרגול.

נגזרות של פונקציות שורש

פונקציות שורש הן מקרה מיוחד של פונקציות חזקה, כאשר המעריך הוא שבר. למשל, √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), וכן הלאה. כדי לגזור פונקציות שורש, אנו משתמשים בכלל החזקה יחד עם כלל השרשרת במקרה הצורך.

נוסחאות לנגזרות של פונקציות שורש

לפי כלל החזקה, אם f(x) = x^(1/n), אז f'(x) = (1/n)·x^(1/n-1)

במקרה של שורש ריבועי (n=2):

אם f(x) = √x = x^(1/2), אז f'(x) = (1/2)·x^(-1/2) = 1/(2√x)

במקרה של שורש מעריך n כלשהו:

אם f(x) = x^(1/n), אז f'(x) = (1/n)·x^(1/n-1)

דוגמה לנגזרת של פונקציית שורש

נגזור את הפונקציה f(x) = √(x^2 + 1)

זוהי פונקציה מורכבת, כאשר הפונקציה החיצונית היא g(u) = u^(1/2), והפונקציה הפנימית היא h(x) = x^2 + 1.

לפי כלל השרשרת:

1. נחשב את הנגזרת של הפונקציה החיצונית: g'(u) = (1/2)·u^(-1/2)
2. נחשב את הנגזרת של הפונקציה הפנימית: h'(x) = 2x
3. נכפיל את התוצאות, כאשר מציבים את h(x) במקום u בפונקציה החיצונית:
   
   f'(x) = (1/2)·(x^2 + 1)^(-1/2) · 2x
4. נפשט: f'(x) = x/√(x^2 + 1)

פונקציות שורש מופיעות בשימושים רבים במתמטיקה ובמדעים, ולכן חשוב לשלוט בטכניקות לגזירתן.

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

פונקציות טריגונומטריות הן קבוצה חשובה של פונקציות במתמטיקה, ויש להן נגזרות ייחודיות שחשוב להכיר. הנה הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות:

• אם f(x) = sin(x), אז f'(x) = cos(x)
• אם f(x) = cos(x), אז f'(x) = -sin(x)
• אם f(x) = tan(x), אז f'(x) = sec^2(x) = 1/cos^2(x)
• אם f(x) = cot(x), אז f'(x) = -csc^2(x) = -1/sin^2(x)
• אם f(x) = sec(x), אז f'(x) = sec(x)·tan(x)
• אם f(x) = csc(x), אז f'(x) = -csc(x)·cot(x)

כאשר עובדים עם פונקציות טריגונומטריות מורכבות, יש להשתמש בכלל השרשרת בנוסף לנוסחאות אלו.

דוגמה לנגזרת של פונקציה טריגונומטרית

נגזור את הפונקציה f(x) = sin(3x^2)

זוהי פונקציה מורכבת, כאשר הפונקציה החיצונית היא g(u) = sin(u), והפונקציה הפנימית היא h(x) = 3x^2.

לפי כלל השרשרת:

1. נחשב את הנגזרת של הפונקציה החיצונית: g'(u) = cos(u)
2. נחשב את הנגזרת של הפונקציה הפנימית: h'(x) = 6x
3. נכפיל את התוצאות, כאשר מציבים את h(x) במקום u בפונקציה החיצונית:
   
   f'(x) = cos(3x^2) · 6x
4. התוצאה הסופית: f'(x) = 6x·cos(3x^2)

פונקציות טריגונומטריות מופיעות בתיאור של תופעות מחזוריות רבות בטבע, ולכן היכולת לגזור אותן היא מיומנות חשובה.

תרגילים ופתרונות מודרכים – מהפשוט למורכב

כעת נתרגל את הכללים שלמדנו באמצעות סדרה של תרגילים, מהפשוטים ביותר ועד למורכבים יותר. לכל תרגיל, ננסה לפרט את השלבים כדי לחזק את ההבנה.

תרגיל 1: גזירת פולינום פשוט

שאלה: מצא את הנגזרת של f(x) = 5x^3 – 2x + 7

פתרון:

• נגזרת של 5x^3 היא 5·3·x^2 = 15x^2
• נגזרת של -2x היא -2
• נגזרת של 7 (קבוע) היא 0

תשובה: f'(x) = 15x^2 – 2

תרגיל 2: גזירת מכפלה

שאלה: מצא את הנגזרת של g(x) = x^2·(x + 3)

פתרון:

נשתמש בכלל המכפלה: אם g(x) = u(x)·v(x), אז g'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)

במקרה שלנו, u(x) = x^2 ו-v(x) = x + 3

• u'(x) = 2x
• v'(x) = 1

לכן, g'(x) = 2x·(x + 3) + x^2·1 = 2x^2 + 6x + x^2 = 3x^2 + 6x

דרך אחרת: אפשר גם לפתוח את המכפלה תחילה:

g(x) = x^2·(x + 3) = x^3 + 3x^2

ואז לגזור: g'(x) = 3x^2 + 6x

תרגיל 3: גזירת מנה

שאלה: מצא את הנגזרת של h(x) = (x + 1)/(x – 2)

פתרון:

נשתמש בכלל המנה: אם h(x) = u(x)/v(x), אז h'(x) = (u'(x)·v(x) – u(x)·v'(x))/[v(x)]^2

במקרה שלנו, u(x) = x + 1 ו-v(x) = x – 2

• u'(x) = 1
• v'(x) = 1

לכן, h'(x) = (1·(x – 2) – (x + 1)·1)/[(x – 2)]^2 = (x – 2 – x – 1)/[(x – 2)]^2 = -3/[(x – 2)]^2

תרגיל 4: גזירת פונקציה מורכבת

שאלה: מצא את הנגזרת של j(x) = (2x + 1)^3

פתרון:

נשתמש בכלל השרשרת: אם j(x) = [g(x)]^n, אז j'(x) = n·[g(x)]^(n-1) · g'(x)

במקרה שלנו, g(x) = 2x + 1 ו-n = 3

g'(x) = 2

לכן, j'(x) = 3·(2x + 1)^2 · 2 = 6·(2x + 1)^2

תרגיל 5: גזירת פונקציית שורש

שאלה: מצא את הנגזרת של k(x) = √(x^2 – 4)

פתרון:

נשתמש בכלל השרשרת ובכלל החזקה עבור שורש:

k(x) = (x^2 – 4)^(1/2)

הנגזרת של גוף הפונקציה g(x) = x^2 – 4 היא g'(x) = 2x

לפי כלל החזקה והשרשרת:

k'(x) = (1/2)·(x^2 – 4)^(-1/2) · 2x = x/√(x^2 – 4)

תרגיל 6: גזירת פונקציה טריגונומטרית

שאלה: מצא את הנגזרת של m(x) = cos(2x + π/4)

פתרון:

נשתמש בכלל השרשרת:

הנגזרת של cos(u) היא -sin(u)

הנגזרת של u = 2x + π/4 היא u’ = 2

לפי כלל השרשרת:

m'(x) = -sin(2x + π/4) · 2 = -2·sin(2x + π/4)

תרגילים אלה מדגימים את השימוש במגוון הכללים שלמדנו. ככל שתתרגלו יותר, תפתחו אינטואיציה טובה יותר לגבי הנגזרת, ותוכלו לגזור פונקציות מורכבות יותר בקלות רבה יותר.

סיכום – מה למדנו על גזירת פונקציות

במהלך המאמר סקרנו את הנושא המרכזי “איך גוזרים פונקציה” מזויות שונות ובאמצעות מגוון כללים וטכניקות. התחלנו מהבנה בסיסית של המשמעות של נגזרת כשיעור השינוי של פונקציה, והמשכנו לכללי גזירה בסיסיים כמו נגזרת של קבוע, של פונקציית זהות ושל חזקה.

למדנו על כללי גזירה מורכבים יותר כמו כלל הסכום, כלל המכפלה, כלל המנה וכלל השרשרת המאפשר לנו לגזור פונקציות מורכבות. סקרנו גם את הנגזרות של פונקציות מיוחדות כמו פונקציות שורש ופונקציות טריגונומטריות.

יישמנו את הכללים בתרגילים שונים, והדגמנו כיצד ניתן לפרק בעיות מורכבות לצעדים פשוטים יותר. הבנת תהליך הגזירה מאפשרת לנו לחקור את התכונות של פונקציות, למצוא נקודות קיצון, לחשב קצב שינוי ועוד יישומים רבים במתמטיקה, פיזיקה, כלכלה והנדסה.

המיומנות של גזירת פונקציות היא אבן יסוד בחשבון אינפיניטסימלי, והתרגול המתמיד הוא המפתח לשליטה בה.

שאלות נפוצות על איך גוזרים פונקציה