איך גוזרים לן (ln) – מדריך מקיף לפונקציית הלוגריתם הטבעי

פונקציית הלוגריתם הטבעי (ln) מהווה אחד מאבני היסוד של מתמטיקה מתקדמת, במיוחד בתחום החשבון האינפיניטסימלי. תלמידי 4 ו-5 יחידות מתמטיקה נדרשים להבין את התכונות, החוקים והנגזרות של פונקציה חשובה זו. במאמר זה נעמיק בהבנת פונקציית ה-ln, חשיבותה, ובמיוחד באיך גוזרים לן באופן נכון ויעיל. נכיר את הנוסחאות הבסיסיות, נלמד על מקרים מיוחדים, ונעבור על דוגמאות מגוונות שיעזרו לכם להבין את התהליך. בין אם אתם לומדים לבגרות במתמטיקה או פשוט מעוניינים להעמיק את הידע שלכם, מאמר זה יספק לכם את הכלים הדרושים להתמודד עם גזירת פונקציות לוגריתמיות מכל הסוגים.

יסודות פונקציית הלוגריתם הטבעי (ln)

לפני שנלמד איך גוזרים פונקציית לן, חשוב להבין מהי פונקציית הלוגריתם הטבעי ומהן תכונותיה הבסיסיות. פונקציית ln היא הלוגריתם בבסיס e (מספר אוילר, כ-2.71828).

פונקציית ln מוגדרת עבור כל x>0 ומקיימת את הקשר: אם y = ln(x), אז e^y = x. זוהי הפונקציה ההפוכה לפונקציית e^x.

תחום ההגדרה של פונקציית ln הוא x>0, כלומר רק עבור מספרים חיוביים. טווח הערכים של הפונקציה הוא כל המספרים הממשיים.

תכונות חשובות של פונקציית ln כוללות:

• ln(1) = 0 (כי e⁰ = 1)
• ln(e) = 1 (כי e¹ = e)
• ln(a·b) = ln(a) + ln(b)
• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
• ln(aⁿ) = n·ln(a)

הגרף של פונקציית ln עולה באופן מונוטוני, אך קצב העלייה הולך וקטן ככל ש-x גדל. הפונקציה חוצה את ציר ה-x בנקודה (1,0) ושואפת למינוס אינסוף כאשר x שואף לאפס מימין.

הנוסחה הבסיסית לגזירת פונקציית לן

הנוסחה הבסיסית לגזירת פונקציית ln היא אחת הנוסחאות החשובות ביותר בחשבון דיפרנציאלי. הנגזרת של ln(x) היא 1/x:

[ln(x)]’ = 1/x

זוהי נוסחה שחייבים לזכור כאשר עוסקים בגזירת פונקציות לוגריתמיות. הנוסחה מראה שקצב השינוי של ln(x) הוא 1/x, כלומר ככל ש-x גדל, קצב השינוי קטן.

ניתן להסביר את הנוסחה באמצעות הגדרת הנגזרת:

[ln(x)]’ = lim_h→0 (ln(x+h) – ln(x))/h = lim_h→0 ln((x+h)/x)/h = lim_h→0 ln(1+h/x)/h

באמצעות שימוש בקירוב ln(1+t) ≈ t כאשר t קרוב ל-0, נקבל:

[ln(x)]’ = lim_h→0 (h/x)/h = 1/x

חשוב לזכור נוסחה זו כבסיס לכל חישוב של גזירת פונקציות שמערבות לוגריתמים טבעיים.

שיטות לחישוב נגזרות של פונקציות עם ln

כאשר מתמודדים עם גזירת ביטויים מורכבים הכוללים לן, נדרש להשתמש בכללי גזירה נוספים. להלן השיטות העיקריות:

כלל השרשרת בגזירת ln

כאשר גוזרים פונקציה מהצורה ln(g(x)), יש להשתמש בכלל השרשרת:

[ln(g(x))]’ = g'(x)/g(x)

למשל, אם רוצים לגזור ln(x²+1), נקבל:

[ln(x²+1)]’ = (x²+1)’/((x²+1)) = (2x)/(x²+1)

כלל השרשרת מאפשר לנו לטפל במגוון רחב של פונקציות לוגריתמיות מורכבות. חשוב לזכור שתמיד צריך לחלק את הנגזרת של הפונקציה הפנימית בפונקציה הפנימית עצמה.

גזירת סכום וחיסור עם ln

כאשר גוזרים ביטויים שכוללים סכום או חיסור של פונקציות לוגריתמיות, אפשר להשתמש בחוק הנגזרת של סכום:

[f(x) + g(x)]’ = f'(x) + g'(x)

למשל, אם רוצים לגזור ln(x) + ln(x+1), נקבל:

[ln(x) + ln(x+1)]’ = 1/x + 1/(x+1)

לחילופין, אפשר להשתמש בחוקי הלוגריתמים ולפשט קודם:

ln(x) + ln(x+1) = ln(x(x+1)) = ln(x² + x)

ואז לגזור: [ln(x² + x)]’ = (2x+1)/(x² + x)

גזירת מכפלה וחילוק שמערבים ln

כאשר מתמודדים עם מכפלות וחילוקים בפונקציות לוגריתמיות, נשתמש בכללי גזירת מכפלה וחילוק:

נגזרת המכפלה: [f(x)·g(x)]’ = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

נגזרת המנה: [f(x)/g(x)]’ = [f'(x)·g(x) – f(x)·g'(x)]/[g(x)]²

למשל, אם רוצים לגזור x·ln(x), נקבל:

[x·ln(x)]’ = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1

אם רוצים לגזור ln(x)/x, נקבל:

[ln(x)/x]’ = [(1/x)·x – ln(x)·1]/x² = [1 – ln(x)]/x²

גזירת מקרים מיוחדים של פונקציות לוגריתמיות

ישנם מקרים מיוחדים בגזירת לן שראוי להכיר. הבנת דפוסים אלו חוסכת זמן ומאמץ בפתרון שאלות.

גזירת ln(x) בחזקות

כאשר מתמודדים עם ln(x) בחזקה, למשל [ln(x)]², משתמשים בכלל הגזירה של פונקציה בחזקה:

[f(x)ⁿ]’ = n·f(x)ⁿ⁻¹·f'(x)

למשל, אם רוצים לגזור [ln(x)]², נקבל:

[[ln(x)]²]’ = 2·[ln(x)]¹·(1/x) = 2·ln(x)/x

ובאופן דומה, אם רוצים לגזור [ln(x)]³, נקבל:

[[ln(x)]³]’ = 3·[ln(x)]²·(1/x) = 3·[ln(x)]²/x

דוגמה נוספת היא גזירת √ln(x) או [ln(x)]^(1/2):

[[ln(x)]^(1/2)]’ = (1/2)·[ln(x)]^(-1/2)·(1/x) = 1/(2·x·√ln(x))

גזירת פונקציות עם e ו-ln

פונקציות שמשלבות e ו-ln דורשות תשומת לב מיוחדת. לדוגמה, לגזור e^ln(x):

תחילה נפשט: e^ln(x) = x (זוהי תכונה בסיסית של e ו-ln)

לכן, [e^ln(x)]’ = [x]’ = 1

דוגמה נוספת: ln(e^x) = x (גם זו תכונה בסיסית)

לכן, [ln(e^x)]’ = [x]’ = 1

מקרה מורכב יותר: [e^(ln(x²))]’

נפשט: e^(ln(x²)) = x²

כעת נגזור: [x²]’ = 2x

גזירת פונקציות עם ln בשילוב פונקציות טריגונומטריות

שילובים של ln עם פונקציות טריגונומטריות דורשים שימוש בכללי שרשרת ומכפלה:

לדוגמה, גזירת ln(sin(x)):

[ln(sin(x))]’ = [sin(x)]’/sin(x) = cos(x)/sin(x) = cot(x)

גזירת sin(ln(x)):

[sin(ln(x))]’ = cos(ln(x))·[ln(x)]’ = cos(ln(x))·(1/x)

אלו דוגמאות לשילובים מורכבים שדורשים יישום של מספר כללי גזירה יחד.

דוגמאות מפורטות לגזירת פונקציות ln

כדי להבין טוב יותר כיצד לגזור פונקציית ln, נבחן דוגמאות מפורטות ופתרונות מלאים.

דוגמה 1: גזירת ln(3x+2)

נשתמש בכלל השרשרת:

[ln(3x+2)]’ = (3x+2)’/(3x+2) = 3/(3x+2)

דוגמה 2: גזירת ln(x²-4)

נשתמש בכלל השרשרת:

[ln(x²-4)]’ = (x²-4)’/(x²-4) = 2x/(x²-4)

דוגמה 3: גזירת x·ln(x) – x

נשתמש בכלל המכפלה עבור החלק הראשון:

[x·ln(x) – x]’ = [x·ln(x)]’ – [x]’

[x·ln(x)]’ = x’·ln(x) + x·[ln(x)]’ = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1

לכן: [x·ln(x) – x]’ = ln(x) + 1 – 1 = ln(x)

דוגמה 4: גזירת ln(x)/x²

נשתמש בכלל המנה:

[ln(x)/x²]’ = [(ln(x))’·x² – ln(x)·(x²)’]/[x²]²

= [(1/x)·x² – ln(x)·2x]/x⁴

= [x – 2x·ln(x)]/x⁴

= [1 – 2ln(x)]/x³

דוגמה 5: גזירת ln(sin(x))

נשתמש בכלל השרשרת:

[ln(sin(x))]’ = [sin(x)]’/sin(x) = cos(x)/sin(x) = cot(x)

דוגמה 6: גזירת [ln(x)]²

נשתמש בכלל חזקה:

[[ln(x)]²]’ = 2·ln(x)·[ln(x)]’ = 2·ln(x)·(1/x) = 2ln(x)/x

דוגמאות אלו מציגות מגוון של מקרים שאיתם תוכלו להתמודד בבחינות ובתרגילים שונים.

טעויות נפוצות בגזירת פונקציות ln

כאשר לומדים לגזור ביטויי לן, יש מספר טעויות נפוצות שכדאי להיות מודעים אליהן ולהימנע מהן.

טעות 1: שכחת כלל השרשרת

טעות נפוצה היא לגזור ln(g(x)) כ-1/x במקום 1/g(x)·g'(x) או פשוט g'(x)/g(x). חשוב לזכור שהנוסחה הבסיסית 1/x נכונה רק כאשר גוזרים ln(x) ולא עבור פונקציות מורכבות יותר.

דוגמה שגויה: [ln(x²)]’ = 1/x

נכון: [ln(x²)]’ = (x²)’/(x²) = 2x/x² = 2/x

טעות 2: גזירה שגויה של מכפלות

טעות נפוצה היא לגזור מכפלה כמו x·ln(x) ע”י גזירת כל גורם בנפרד ולהכפיל את התוצאות, במקום להשתמש בכלל המכפלה.

דוגמה שגויה: [x·ln(x)]’ = 1·(1/x) = 1/x

נכון: [x·ln(x)]’ = x’·ln(x) + x·(ln(x))’ = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1

טעות 3: פישוט לא נכון של ביטויי לוגריתם

שימוש לא נכון בחוקי הלוגריתמים יכול להוביל לטעויות בגזירה.

דוגמה שגויה: ln(x) + ln(y) = ln(x+y)

נכון: ln(x) + ln(y) = ln(xy)

וכן:

דוגמה שגויה: ln(x/y) = ln(x)/ln(y)

נכון: ln(x/y) = ln(x) – ln(y)

טעות 4: אי שימת לב לתחום ההגדרה

לעיתים תלמידים שוכחים לבדוק את תחום ההגדרה של הפונקציה לפני גזירתה. פונקציית ln מוגדרת רק עבור ארגומנטים חיוביים, ולכן חשוב לוודא שהביטוי שבתוך הלוגריתם חיובי בתחום שנבדק.

למשל, הפונקציה f(x) = ln(x²-4) מוגדרת רק כאשר x²-4 > 0, כלומר כאשר x < -2 או x > 2.

שיטות מתקדמות לגזירת פונקציות לוגריתמיות מורכבות

עבור תלמידי 5 יחידות מתמטיקה, חשוב להכיר טכניקות מתקדמות לגזירת לן בביטויים מורכבים במיוחד.

גזירה לוגריתמית

גזירה לוגריתמית היא טכניקה שימושית לגזירת פונקציות מורכבות, במיוחד מכפלות, מנות וחזקות. הרעיון הוא לקחת לוגריתם של שני צדדי המשוואה ואז לגזור.

לדוגמה, נניח שרוצים לגזור y = x^x. נקח לוגריתם של שני הצדדים:

ln(y) = ln(x^x) = x·ln(x)

כעת נגזור את שני הצדדים ביחס ל-x:

y’/y = [x·ln(x)]’ = ln(x) + 1

לכן:

y’ = y·(ln(x) + 1) = x^x·(ln(x) + 1)

שילוב חוקי לוגריתמים בגזירה

לעיתים כדאי לפשט ביטויים לוגריתמיים לפני גזירתם באמצעות חוקי הלוגריתמים:

לדוגמה, אם רוצים לגזור ln(x^n·(x+1)^m), נוכל לפשט:

ln(x^n·(x+1)^m) = ln(x^n) + ln((x+1)^m) = n·ln(x) + m·ln(x+1)

כעת קל יותר לגזור:

[n·ln(x) + m·ln(x+1)]’ = n·(1/x) + m·(1/(x+1)) = n/x + m/(x+1)

גזירת ביטויים עם לוגריתמים בבסיסים אחרים

כאשר מתמודדים עם לוגריתמים בבסיסים שונים מ-e, אפשר להשתמש בנוסחת החלפת הבסיס:

log₍ₐ₎(x) = ln(x)/ln(a)

לדוגמה, לגזור log₍₁₀₎(x):

[log₍₁₀₎(x)]’ = [ln(x)/ln(10)]’ = (1/x)/ln(10) = 1/(x·ln(10))

תרגילים נוספים לתרגול גזירת ln

כדי לשפר את המיומנות שלך בחישוב נגזרות של פונקציות לן, להלן מספר תרגילים עם פתרונות:

תרגיל 1: מצא את הנגזרת של f(x) = ln(x^3 + 2x)

פתרון:

f'(x) = (x^3 + 2x)’/(x^3 + 2x) = (3x² + 2)/(x^3 + 2x)

תרגיל 2: מצא את הנגזרת של g(x) = ln(sin(x)·cos(x))

פתרון:

g(x) = ln(sin(x)) + ln(cos(x))

g'(x) = [ln(sin(x))]’ + [ln(cos(x))]’

g'(x) = cos(x)/sin(x) + (-sin(x))/cos(x)

g'(x) = cot(x) – tan(x)

תרגיל 3: מצא את הנגזרת של h(x) = ln(√(x² + 1))

פתרון:

h(x) = ln((x² + 1)^(1/2)) = (1/2)·ln(x² + 1)

h'(x) = (1/2)·[ln(x² + 1)]’ = (1/2)·(2x)/(x² + 1) = x/(x² + 1)

תרגיל 4: מצא את הנגזרת של f(x) = x²·ln(x) – x²

פתרון:

f'(x) = [x²·ln(x)]’ – [x²]’

f'(x) = [x²]’·ln(x) + x²·[ln(x)]’ – 2x

f'(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) – 2x

f'(x) = 2x·ln(x) + x – 2x

f'(x) = 2x·ln(x) – x

תרגיל 5: מצא את הנגזרת של g(x) = ln(ln(x))

פתרון:

g'(x) = [ln(x)]’/ln(x) = (1/x)/ln(x) = 1/(x·ln(x))

תרגול נוסף ניתן למצוא באתר M-MATH, הכולל דוגמאות ותרגילים ברמות שונות.

יישומים של נגזרות ln בחקירת פונקציות

נגזרות פונקציית לן משחקות תפקיד חשוב בחקירת פונקציות. הן מסייעות למצוא נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, וקעירות.

מציאת נקודות קיצון

כדי למצוא נקודות קיצון של פונקציה, מחפשים את הנקודות בהן הנגזרת מתאפסת. בפונקציות הכוללות ln, זה יכול להוביל למשוואות מעניינות.

לדוגמה, עבור f(x) = x·ln(x) – 2x:

f'(x) = ln(x) + 1 – 2 = ln(x) – 1

הנגזרת מתאפסת כאשר ln(x) = 1, כלומר x = e. לכן, יש נקודת קיצון ב-x = e.

כדי לקבוע אם זו נקודת מקסימום או מינימום, נבדוק את הנגזרת השנייה:

f”(x) = [ln(x) – 1]’ = 1/x

מכיוון ש-f”(e) = 1/e > 0, הנקודה (e, e-2e) היא נקודת מינימום.

אסימפטוטות ותחומי ההגדרה

פונקציות הכוללות ln לעיתים קרובות יוצרות אסימפטוטות אנכיות כאשר הארגומנט של הלוגריתם מתקרב לאפס. למשל, עבור f(x) = ln(x):

כאשר x→0+, f(x)→-∞, כלומר ציר ה-y הוא אסימפטוטה אנכית.

חשוב גם לזכור לבדוק את תחום ההגדרה של הפונקציה, במיוחד כאשר הארגומנט של הלוגריתם הוא ביטוי מורכב.

חקירה מלאה של פונקציות עם ln

חקירה מלאה של פונקציה הכוללת ln תכלול את השלבים הבאים:

1. מציאת תחום ההגדרה
2. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים
3. מציאת אסימפטוטות (אנכיות ואופקיות)
4. מציאת נקודות קיצון באמצעות הנגזרת הראשונה
5. מציאת תחומי עלייה וירידה
6. מציאת נקודות פיתול וקעירות באמצעות הנגזרת השנייה
7. שרטוט גרף מדויק

לדוגמה, חקירה מלאה של f(x) = ln(x)/x תכלול ניתוח של התנהגות הפונקציה כאשר x→0+ וכאשר x→∞, מציאת נקודת הקיצון היחידה ב-x = e, ושרטוט הגרף.

סיכום: המפתח להצלחה בגזירת פונקציות לן

לסיכום, גזירת פונקציות לן דורשת הבנה מעמיקה של מספר עקרונות בסיסיים והרבה תרגול. זכרו את הנוסחה הבסיסית [ln(x)]’ = 1/x, והקפידו להשתמש בכלל השרשרת כאשר גוזרים פונקציות מורכבות יותר. שימוש נכון בחוקי הלוגריתמים יכול לעזור לפשט ביטויים לפני גזירתם. תרגול מגוון של בעיות, כולל שילובים עם פונקציות אחרות, יבטיח שליטה בנושא. חשוב להימנע מטעויות נפוצות ולבדוק תמיד את תחום ההגדרה של הפונקציות. עם הכלים והידע שרכשתם במאמר זה, תוכלו להתמודד בהצלחה עם כל בעיה הקשורה לגזירת פונקציות לוגריתמיות.

מקורות נוספים:

• פונקציית ln – מאתר M-MATH
• נגזרת ln – מדריך מקיף